极限（入门）

趋近……

有时我们不能直接计算某个值……可是我们可以去看看逐渐接近它时的情形！

例子：

(x2 − 1)(x − 1)

求 x=1 的值：

(12 − 1)(1 − 1) = (1 − 1)(1 − 1) = 00

0/0 不好做！没有人知道 0/0 是多少（它是 "不确定的"），所以我们要另辟蹊径。

我们不直接求当 x=1 的值，我们 趋近 它来看看：

例子（续）：

现在我们看到当 x 越来越接近 1 的时候， (x2−1)(x−1) 越来越接近 2

这很有趣：

• 当 x=1，我们不知道答案（它是不确定的）

• 但我们也知道答案越来越接近 2

我们想说："答案就是 2"，但我们不能这样说，所以数学家用一个特别的名词来形容这种情况："极限"

当 x 趋近 1 时，(x2−1)(x−1)的极限 是 2

用符号来写就是：

我们可以这样理解： "不管在那里是什么，当 x 越来越接近 1 时答案便越来越接近 2"

在图上是这样的： 因此，实际上我们不能说当 x=1 时的值是多少。 但我们可以说："趋近 1 时，极限是 2。"

两边都检验！

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就像想看山顶是什么样的……

……如果我们只看山的一边，我们是看不到所有景象的。

所以我们需要从两个方向都检验，来确定答案 "应该" 是多少！

例子（续）

好，我们从另一边来：

也是趋近 2，所以没问题

两边的答案不一样

如果函数 f(x) 有个"间隙"，像这样：

极限在 "a" 处不存在

我们不能说在 "a" 的值是多少，因为有两个可能答案：

• 3.8 （从左边）

• 1.3 （从右边）

我们可以用特定的 "−" 或 "+" 符号（如下）来为一边的极限下定义：

• 左边 的极限（−）是 3.8

• 右边 的极限（+）是 1.3

但一般的极限"不存在"

只有复杂的函数才有极限吗？

就算我们真的知道函数在一点的值，我们也可以用极限！不一定要是复杂的函数.

例子：

我们知道 10/2 = 5，但我们仍然可以用极限（随你便！）

趋近无穷大

无穷大 是个很特别的概念。我们知道不能达到无穷大，但我们可以尝试去求含有无穷大的函数的值。

我们先看一个有趣的例子。

为什么不知道？

简单的答案是：无穷大不是个数，它是个概念。

所以1∞ 就好像1美 or 1高一样。

我们也许可以说1∞= 0 …… 但这样也不对，因为如果我们把 1 切开成无穷多的小部分而每个部分是 0，那么整体怎么会是 1 呢？

其实1∞ 是 未定义的。

但我们可以趋近它！

我们无法计算在无穷大的值（因为得不到合理的答案），我们尝试越来越大的 x值：

x 1x 1 1.00000 2 0.50000 4 0.25000 10 0.10000 100 0.01000 1,000 0.00100 10,000 0.00010

当 x 越来越大时，1x 越来越接近 0

这很有意思：

• 我们不能说"当" x 是无穷大时的情形是什么

• 但我们可以看到1x 趋近 0

我们想说答案是 "0"，但我们不可以，所以数学家用特定名词 "极限" 来表达这种情形：

当 x 趋近无穷大时，1x 的 极限 是 0

写下来是：

换句话说：

当 x 趋近无穷大时，1x 趋近 0

当你看到 "极限" 时，想："趋近"

这是用数学的语言来说：" 我们不是说当 x=∞，但我们知道当 x 越来越大时，答案便越来越接近 0"。

去这里看 在无穷大的极限。

解！

这好像有点偷懒和取巧，说一个极限等于某个值因为它好像越来越接近那个值。

这是不够的！